Approches hydrodynamiques des fluctuations hors d'équilibre

Dans les systèmes ouverts hors d'équilibre, les flux irréversibles de matière et d'énergie brisent l'invariance par renversement du temps. L'équilibre est bien décrit par la thermodynamique et la physique statistique, mais la modélisation des systèmes loin de l'équilibre reste parcellaire. Lorsque le nombre de particules tend vers l'infini et que les échelles de temps et d'espace deviennent grandes, une hydrodynamique effective doit néanmoins émerger, qui intègre les fluctuations dues à la granularité de la matière. Pour les systèmes diffusifs, ce cadre existe : c'est la théorie des fluctuations macroscopiques (MFT), développée depuis les années 2000. Elle permet de calculer la probabilité des fluctuations rares et les fonctions de grandes déviations, qui jouent hors d'équilibre le rôle des potentiels thermodynamiques. La MFT formule un problème d'optimisation stochastique. Les profils optimaux de densité et de flux sont solutions de deux équations aux dérivées partielles non linéaires couplées. La première se propage vers le futur, la seconde (variable adjointe) se résout à rebours depuis le temps final, ce qui rend la dynamique non locale en temps et en espace. Des travaux récents ont toutefois montré que, pour des systèmes clés, ces profils se déduisent de fonctions de corrélation vérifiant une équation intégrale exacte où le temps n'apparaît pas explicitement. La thèse est financée par l'ERC Synergy Grant UNICIPS (IPhT, LPTMC Sorbonne Université, King's College London) et approfondira ces méthodes selon trois axes. 1. Probabilités de retour. Durant son stage de M2, Gabriel Legrand a étudié la probabilité de premier retour à la configuration initiale dans le processus d'exclusion symétrique. Il a généralisé pour cela la correspondance exacte entre la MFT et le système intégrable AKNS. Il a obtenu les équations fermées pour les corrélations hors d'équilibre et les a résolues dans des cas limites : basse densité, configuration initiale très localisée ou totalement délocalisée. La résolution complète ouvrira la thèse. Ces probabilités généralisent les ponts de Schrödinger, aujourd'hui au cœur des modèles diffusifs d'apprentissage. On cherchera à les exprimer en termes de déterminants fonctionnels grâce à l'Ansatz de Bethe. Elles sont aussi l'analogue classique de l'écho de Loschmidt quantique, pour lequel nous avons montré l'existence d'une transition de phase dynamique chez les fermions libres sur réseau. Deux questions se posent alors. Ce phénomène existe-t-il dans le cadre classique ? Peut-on, par des méthodes hydrodynamiques, relier le comportement diffusif de la MFT au comportement balistique de la BMFT ? 2. Systèmes asymétriques. Un champ externe qui brise la symétrie de parité ajoute aux équations de la MFT un terme d'advection non linéaire de type Burgers. L'intégrabilité est formellement préservée. En revanche, la compatibilité des conditions aux limites avec les lois de conservation reste à élucider, et c'est d'elle que dépend l'applicabilité de la diffusion inverse. La résolution exacte de ces systèmes est l'un des défis ouverts majeurs du domaine. 3. MFT et matrices aléatoires. On étendra la MFT aux systèmes non diffusifs à interactions à longue portée, comme le gaz de Dyson. Celui-ci décrit la dynamique des valeurs propres d'une matrice dont les coefficients sont des mouvements browniens indépendants. Nous avons récemment calculé par la MFT les corrélations dynamiques entre ces valeurs propres, ce qui généralise un résultat classique jusqu'alors restreint aux temps égaux. La thèse abordera ensuite le mouvement brownien de Wishart-Laguerre, contrepartie dynamique des matrices de Wishart, dont la distribution des valeurs propres suit la loi de Marchenko-Pastur. Elle explorera d'éventuels comportements critiques lorsque le rapport c = N/M franchit la valeur 1. École doctorale : Physique en Ile de France Direction : Kirone MALLICK Financement : Europe - ERC (European Research Council)