Barycentres Wasserstein Généralisés et applications

Les distances de Wasserstein constituent un outil puissant pour comparer des données d'une manière géométriquement pertinente, sans faire appel à une représentation vectorielle spécifique. Si des progrès importants ont été réalisés dans l'utilisation de ces distances pour l'interpolation de données, de nombreuses applications — telles que l'analyse statistique de données à valeurs dans l'espace des mesures, la modélisation d'ordre réduit ou la conception de méthodes numériques pour la simulation en physique — nécessitent non seulement l'interpolation, mais aussi l'extrapolation des données. Une définition naturelle de l'extrapolation dans l'espace de Wasserstein peut être obtenu en autorisant des coefficients signés dans la définition des barycentres de Wasserstein. La présence de poids négatifs constitue une généralisation non triviale de la définition classique introduite par Agueh et Carlier, car elle rend le problème non convexe et donc plus difficile à analyser et à résoudre numériquement. Néanmoins, Gallouët, Natale et Todeschi [1] ont récemment montré que le problème des barycentres signés entre deux mesures possède une structure convexe cachée, qui permet une caractérisation précise des solutions ainsi que le développement de solveurs numériques efficaces. Dans ce projet, nous nous appuierons sur ces travaux pour traiter le cas général des barycentres signés entre plusieurs mesures et pour des coûts de transport arbitraires. Nous chercherons à généraliser les résultats de [1] à ce cadre plus général. Nous étudierons également le lien entre la notion d'extrapolation ainsi obtenue et les modèles du second ordre dans l'espace de Wasserstein, c'est-à-dire des courbes de mesures dont l'accélération relative à la métrique de Wasserstein est prescrite. Cela nous permettra d'aborder trois applications principales : • la discrétisation de flots de gradient de Wasserstein, en développant les idées introduites dans [2] ; • la discrétisation de modèles de mécanique des fluides tels que les équations d'Euler sans pression et isentropiques ; • le développement de méthodes d'optimisation accélérées dans l'espace des mesures. [1] Thomas O. Gallouët, Andrea Natale, and Gabriele Todeschi. Metric extrapolation in the Wasserstein space, 2025. Calculus of Variations and Partial Differential Equations. [2] Thomas O. Gallouët, Andrea Natale, and Gabriele Todeschi. From geodesic extrapolation to a variational BDF2 scheme for Wasserstein gradient flows. Mathematics of Computation, 93:2769–2810, 2024. École doctorale : Mathématiques Hadamard Direction : Thomas GALLOUET Financement : ANR