elfosse et Zémor [1] introduisent un modèle de mémoire quantique empilée (« stacked memory »), inspiré des mémoires flash multi-niveaux, où un même circuit de Clifford s'exécute en parallèle sur plusieurs couches de qubits regroupées en cellules. Leur Lemme 2 montre que t fautes de circuit induisent une erreur de Pauli dont le rang est borné par 4t, motivant l'usage de codes en métrique rang. Ils construisent une généralisation quantique des codes de Gabidulin (codes MRD), via une base normale trace-orthogonale et une construction CSS, obtenant un code de distance rang r+1 et de dimension n(n−2r). Ils identifient trois limites : absence de circuit tolérant aux pannes pour l'extraction de syndrome, absence de décodeur rapide, et suggèrent de généraliser plutôt les codes LRPC en métrique rang [2].
Problématique. Les codes de Gabidulin, optimaux au sens de Singleton, souffrent de deux limites classiques : rigidité des paramètres (distance rang fixée par n et k) et matrice de parité dense, coûteuse en extraction de syndrome tolérante aux pannes et incompatible avec un décodage local de type belief propagation. Les codes LRPC, analogues rang des LDPC, reposent sur une matrice de parité creuse dont les coefficients engendrent un sous-espace de petite dimension. Ils admettent un décodage probabiliste efficace et une grande flexibilité, au prix d'une probabilité d'échec non nulle mais contrôlable.
But de la thèse. Construire une famille de codes stabilisateurs CSS quantiques fondée sur des codes LRPC classiques, généralisant la construction de Delfosse–Zémor, et déterminer si cette famille répond aux limitations identifiées dans [1] : creux du syndrome, rapidité du décodage, flexibilité des paramètres.
Intérêts potentiels.
1 Extraction tolérante aux pannes : la structure creuse des matrices LRPC pourrait permettre des stabilisateurs de poids réduit, condition nécessaire à un circuit d'extraction peu bruité.
2 Décodage efficace : les algorithmes LRPC classiques (décodage combinatoire, résolution de systèmes linéaires) peuvent offrir une complexité inférieure aux décodeurs génériques en métrique rang.
3 Flexibilité des paramètres : contrairement aux Gabidulin, contraints par la structure MRD, les LRPC permettent d'ajuster indépendamment taux d'encodage et probabilité de décodage correct.
4 Lien avec l'existant : la construction CSS repose sur la dualité rang (Proposition 1 de [1]) et le produit scalaire trace, outils transposables aux codes LRPC qui possèdent une structure duale bien caractérisée [2].
Axes de travail. a) Définir une version CSS quantique des codes LRPC par analogie avec [1], établir dimension et distance rang minimale en fonction du sous-espace support. b) Étudier la probabilité de décodage correct adaptée au bruit sur la mesure de syndrome (décodage approché). c) Concevoir un circuit d'extraction de syndrome exploitant la structure des stabilisateurs et évaluer sa tolérance aux pannes. d) Comparer performances (taux, distance, complexité) entre codes de Gabidulin et LRPC quantiques, sur le modèle de bruit empilé (Lemme 2 de [1]).
Retombées attendues. Une famille de codes quantiques en métrique rang à décodage efficace et paramètres flexibles, applicable au modèle de mémoire empilée, avec un chemin réaliste vers la tolérance aux pannes, répondant aux limitations de [1].
[1] Delfosse, Zémor, Correction of circuit faults in a stacked quantum memory using rank-metric codes, arXiv:2411.09173. [2] Aragon, Gaborit, Hauteville, Ruatta, Zémor, Low Rank Parity Check Codes, IEEE Trans. Inf. Theory 65(12), 2019.
[2] Nicolas Aragon, Philippe Gaborit, Adrien Hauteville, Olivier Ruatta et Gilles Zémor:
Low Rank Parity Check Codes: New Decoding Algorithms and Applications to Cryptography IEEE Trans. Inf. Theory 65(12) 7697-7717 (2019) École doctorale : Sciences et Ingénierie Direction : OLIVIER RUATTA Financement : ANR Financement d'Agences de financement de la recherche