Optimisation de zones de contrôle ou d'observation pour des problèmes de temps minimal

On s'intéressera à une famille de problèmes omniprésents dans le domaine de l'ingénierie : l'optimisation de zones de contrôle ou d'observation. Typiquement, dans quantité de problèmes pratiques, il peut s'agir de déterminer les formes, positions et nombre de capteurs optimisant un critère donné. Dans l'application visée par cette thèse, on cherche à refroidir une membrane Ω chauffée dont on contrôle la température sur un sous-ensemble de Ω noté ω. On cherchera notamment à étudier les questions suivantes : 1. En agissant uniquement sur ω, est-il possible de faire en sorte que la température de la membrane soit égale à 0 partout en un horizon de temps T donné ? 2. Existe-t-il un temps minimal pour pouvoir y arriver ? 3. Si on se donne la possibilité de choisir ω, existe-t-il un meilleur choix de domaine ω ? Pour résoudre ces questions, il faudra étudier des notions de contrôle permettant de réduire la première question à l'établissement d'une inégalité fonctionnelle appelée inégalité d'observabilité. L'existence d'un temps minimal utilise des notions d'optimisation en dimension infinie. Enfin, pour répondre à la dernière question (théoriquement et/ou numériquement), il s'agira de comprendre en premier lieu les topologies dont on peut munir des espaces de formes et d'étudier les propriétés de continuité de la fonctionnelle de forme considérée. On cherchera également à trouver des conditions d'optimalité et à les exploiter afin d'étudier la dépendance de la forme du domaine de contrôle sur le temps minimal. Des expérimentations numériques pourront être faites en utilisant des techniques de variation de domaine mettant en jeu la dérivée de forme de Hadamard. On pourra étendre l'étude à d'autres équations issues de la physique comme l'équation des ondes. École doctorale : Mathématiques Hadamard Direction : Pierre LISSY Financement : Concours IPP ou école membre